Измайловском полку, в 1790 г. участвовал в войне с Швецией, в 1792 и
1794 гг. – с Польшей, в 1807 и 1812-1814 гг. – с Францией. Уволившись от службы 13 апреля 1815 г., по роспуске ополчения, Рынкевич 12 июля того же года был назначен исправляющим должность Симбирского вице-губернатора, в каковой был утверждён 10 ноября 1816 г. с производством в статские советники. 3 августа 1817 г. Рынкевич был переведён вице-губернатором в Москву, 21 августа 1818 г. награждён был орденом Св. Владимира 3-й степени, а 18 апреля 1819 г. произведён в действительные статские советники. 28 октября 1821 г. Рынкевич уволен был, по прошению, от должности московского вице-губернатора с назначением состоять при Герольдии. В Москве Рынкевич, по свидетельству управляющего III отделением собственной Его Величества канцелярии генерала фон Фока, «вел жизнь чрезвычайно роскошную, позволяя себе, по занимаемому им месту, большие злоупотребления. Покойный граф Гурьев намерен был предать его уголовному суду, но предстательством обер-егермейстера Пашкова, на племяннице которого Рынкевич был женат, он избавился от суда и был только удалён от места». 27-го августа 1829 г. он был определен в Комиссию, Высочайше учрежденную для рассмотрения Положения о мерах борьбы с корчемством, 28-го ноября того же года определен был чиновником особых поручении Министерства Внутренних Дел и, наконец, назначен Вятским гражданским губернатором – 24-го января 1830 года. С именем Ренкевича связано создание в Вятской губернии лесничеств, открытие почтовой конторы и училища для детей канцелярских служителей — кастового учебного заведения, которое три десятилетия готовило для чиновничьей Вятки писцов и переписчиков казенных бумаг. Дочь губернатора Татьяна Ефимовна и жена вице-губернатора А.Л. Афанасьева «с некоторыми другими дамами» на свои средства организовали летом 1832 г. даровую врачебную помощь бедным жителям г. Вятки, которых безвозмездно согласился лечить вольнопрактикующий доктор Вячеслав Петрович Гельд. С его отъездом из губернии «благотворительная сия заботливость постепенно пала».Есть сведения, что Ефим Ефимович предполагал открыть в Вятке институт благородных девиц, что он вел переписку с петербургскими властями об устройстве местного профессионального театра. 19 марта 1834 г. губернатор неожиданно скончался, не успев сделать на своем высоком посту всего, что задумал. Перед смертью он пожертвовал серебряную лампаду к иконе Спасителя, которая еще в 1912 г. находилась в присутствии Вятского губернского правления. Тело Ефима Ефимовича было сначала похоронено в склепе перед левым клиросом теплого храма Всесвятской церкви, а через три месяца вывезено родственниками в Москву.